sáng kiến kinh nghiệm môn toán thcs
a) AMN là tam giác gì? tại sao?
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp.
c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O ). Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?
H ớng dẫn tìm tòi lời giải:
a)- HS dự đoán thông qua quan sát: (AMN cân tại A)
Chứng minh: AMN cân tại A
(?1)
BN
ABM
A
=
(?2)
BmsdA
2
1
BM
A
=
và
BnsdA
2
1
BN
A
=
và AmB = AnB
(Góc nội tiếp) ( Góc nội tiếp) ( (O) bằng (O))
(?1) Chứng minh AMN cân bằng cách nào?
(?2) Chứng minh nh thế nào để có
BN
ABM
A
=
?
Từ sơ đồ học sinh trình bày lời giải:
BmsdA
2
1
BM
A
=
( Góc nội tiếp ) (1)
BnsdA
2
1
BN
A
=
( Góc nội tiếp ) (2)
(O) bằng (O) nên ta có: AmB = AnB (3)
Từ (1), (2) và (3)
BN
ABM
A
=
AMN cân tại A.
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp
(?3)
0
180PD
APC
A
=+
(?4)
0
180PD
AND
APD
APC
A
=+=+
(kề bù)
(?5)
ND
APC
A
=
( Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
(?6)
NAMA
=
(?7) AM = AN
Ngời thực hiện:
Nguyễn Đình Tiếp
5
sáng kiến kinh nghiệm môn toán thcs
AMN cân tại A
(?3): Để chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp cần chứng minh điều gì ?
(?4) Góc ADP cộng với góc nào bằng 180
0
? ta cần chứng minh điều gì ?
(?5) Muốn chứng minh
ND
APC
A
=
cần chứng minh đợc điều gì ?
(?6) Muốn chứng minh
NAMA
=
cần chứng minh đợc điều gì ?
(?7) Chứng minh AM = AN bằng cách nào ?
Học sinh trình bày lời giải:
AMN cân tại A
AM = AN
NAMA
=
ND
APC
A
=
( Góc nội tiếp chắn hai
cung bằng nhau)
0
180PD
AND
APD
APC
A
=+=+
(kề bù)
0
180PD
APC
A
=+
tứ giác ACPD nội tiếp.
c) HS dự đoán ( BCPQ là hình thang )
Để chứng minh BCPQ là hình thang
(?8) BQ // CP
(?9)
CP
ABQ
A
=
( ở vị trí đồng vị )
(?10)
CD
ABQ
A
=
và
CD
ACP
A
=
(? 11)( =
2
1
sđAmB ) (=
2
1
sđ AC ) (?12)
(Tứ giác ACPD nội tiếp )
(?8) Để chứng minh tứ giác BCPQ là hình thang cần chứng minh đợc điều gì ?
(?9) Muốn chứng minh BQ // CP cần chứng minh đợc điều gì ?
(?10) Sử dụng phơng pháp nào để chứng minh
CP
ABQ
A
=
?
(?11) Sử dụng phơng pháp nào để chứng minh
CD
ABQ
A
=
?
(?12) Sử dụng phơng pháp nào để chứng minh
CD
ACP
A
=
?
Học sinh trình bày:
Tứ giác ACPD nội tiếp
CD
ACP
A
=
(=
2
1
sđ AC ) (4)
Mặt khác lại có:
CD
ABQ
A
=
( =
2
1
sđAmB ) (5)
Ngời thực hiện:
Nguyễn Đình Tiếp
6
sáng kiến kinh nghiệm môn toán thcs
Từ (4) và (5)
CP
ABQ
A
=
( ở vị trí đồng vị )
BQ // CP
Tứ giác BCPQ là hình
thang.
Sau khi giải xong Gv cho HS nhắc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh mục
đích:
* Củng cố kiến thức:
+ Trong hai đờng tròn bằng nhau hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nhau.
+ Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
* Củng cố phơng pháp:
+ PP chứng minh tam giác cân.
+ PP chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách sử dụng hai góc kề bù để chỉ ra tổng hai
góc đối bằng 180
0
.
+ PP chứng minh hai góc bằng nhau theo quan hệ bắc cầu.
+ PP chứng minh hai đờng thẳng song song bằng cách chỉ ra hai góc ở vị trí đồng vị
bằng nhau.
Sau khi củng cố GV khuyến khích học sinh tìm tòi cách giải khác.
b) Cách 2:Dễ thấy tứ giác AMPN nội tiếp vì có hai góc vuông. nh vậy nếu tứ giác
ACPD nội tiếp thì
NA
MDA
C
=
. Giáo viên củng cố PP chứng minh một tứ giác nội
tiếp bằng cách sử dụng tứ giác bên cạnh nội tiếp để chỉ ra tổng hai góc đối bằng 180
0
.
Cách 3: Nếu tứ giác ACPQ nội tiếp thì
BN
ACD
AMP
A
==
GV củng cố PP chứng
minh tứ giác ACPD Bằng cách chứng minh
CD
ACP
A
=
GV: -Em có thể thay đổi yêu cầu phần a, b, c để có một yêu cầu tơng tự mà quá
trình chứng minh không thay đổi.
- Nếu hai đờng tròn không bằng nhau thì kết quả bài toán còn đúng không ? vì
sao ?
GV bổ sung yêu cầu
d) Chứng minh: PM.PC = PD.PN.
e) Gọi E là điểm đối xứng với D qua N Chứng minh khi M di dộng trên cung nhỏ
BC thì E luôn nằm trên một đờng tròn cố định.
Bài 2 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Vẽ tiếp tuyến xBx , gọi C, D là hai điểm
nằm trên đờng tròn và ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB, Tia AC cắt Bx
tại M, tia AD cắt Bx tại N.
a) Chứng minh: AC.AM=AD.AN
b) Chứng minh: tứ giác MNDC nội tiếp.
Ngời thực hiện:
Nguyễn Đình Tiếp
7
sáng kiến kinh nghiệm môn toán thcs
c) Chứng minh: Tích AC.AM không đổi khi C, D di động trên đờng tròn.
H ớng dẫn tìm tòi lời giải :
Khai thác giả thiết:
-Ta có:
0
90MB
ABD
ABC
A
===
a) Chứng minh AC.AM=AD.AN
(?1)
AM
AD
AN
AC
=
(?2) ADC ~ AMN
(?3) Góc A chung và
NM
ACD
A
=
(?4)
2
1
CD
A
=
sđAC và
2
CsdA
2
)BCBA(sd
NM
A
=
=
(Góc nội tiếp) (Góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn)
Câu hỏi dẫn dắt
(?1) Để chứng minh AC.AM=AD.AN cần chứng minh tỷ lệ thức nào ?
(?2) Để có
AM
AD
AN
AC
=
cần chứng minh điều gì ?
(?3) Để chứng minh ADC ~ AMN cần chỉ ra các điều kiện nào ?
(?4) Quan sát hình vẽ cho biết cần sử dụng kiến thức nào để chứng minh
NM
ACD
A
=
?
Học sinh căn cứ đờng lối trình bày lời giải
2
CsdA
2
)BCBA(sd
NM
A
=
=
(Góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn) (1)
2
1
CD
A
=
sđAC( Góc nội tiếp) (2)
Từ (1) và (2)
NM
ACD
A
=
Xét ADC và AMN có:
Ngời thực hiện:
Nguyễn Đình Tiếp
8
sáng kiến kinh nghiệm môn toán thcs
=
)cmt(NM
ACD
A
GocAchung
ADC ~ AMN
AM
AD
AN
AC
=
AC.AM=AD.AN.
b) Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp
(?5)
0
180ND
CNM
C
=+
(?6)
0
180ND
CCD
AND
CNM
C
=+=+
(Kề bù)
(?7)
CD
ANM
C
=
NM
ACD
A
=
Câu hỏi dẫn dắt
(?5) để chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp ta sử dụng phơng pháp nào ? và cần chỉ
ra điều gì ?
(?6) Vận dụng kiến thức nào để chứng minh
0
180ND
CNM
C
=+
(?7) Muốn có
ND
CCD
AND
CNM
C
+=+
cần chứng minh đợc điều gì ?
Đối với học sinh yếu GV có thể đa ra bài tập điền khuyết bảng phụ
NM
ACD
A
=
NM
C
=
( )180 ND
CNM
C
0
=+=+
ND
CNM
C
=+
C) Chỉ cần cho học sinh quan sát và dự đoán các yếu tố không đổi khi C, D di động
mối quan hệ giữa tích cần chứng minh và các yếu tố không đổi theo kiến thức nào đã
học .
GV cho học sinh đọc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh và từ đó củng cố
+ Phần a là dạng toán có quy trình riêng có thể vận dụng cho nhiều bài khi đi tìm lời
giải bài toán đó ?
+Củng cố, khắc sâu kiến thức về góc nội tiếp và góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn.
+ Khắc sâu PP chứng minh tứ giác nội tiếp theo hớng sử dụng góc kề bù để chứng
minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng 180
0
.
+ GV có thể đa ra một căn cứ để phán đoán khi chứng minh tứ giác nội tiếp đờng
tròn nh sau.
Nếu tứ giác ABCD có AB cắt CD tại M
mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp
.
Hoặc
Ngời thực hiện:
Nguyễn Đình Tiếp
9
sáng kiến kinh nghiệm môn toán thcs
Nếu tứ giác ABCD có AC cắt BD tại I
Mà IA.IC = IB.ID thì tứ giác ABCD nội tiếp.
GV khuyến khích học sinh tìm cách giải khác.
Một số bài toán tham khảo:
Bài 3: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ), Một cung tròn BC nằm bên trong tam giác
và tiếp xúc với AB, AC tại B và C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía
đối với BC. Trên cung BC lấy một điểm M, kẻ MI, MH, MK lần lợt vuông góc
với BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của BM và IK, Q là giao điểm của CM và
IH.
a) Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp.
b) Chứng minh MI
2
= MH.MK
c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp. Suy ra PQ vuông góc với MI.
H ớng dẫn :
a) Chỉ ra các góc vuông.
b) Chứng minh MIK~ MHI ( g.g).
c) Vận dụng tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh
tổng hai góc đối bằng 180
0
. Chứng minh PQ // BC để có
MI
PQ.
Từ phần b có thể khai thác phát triển bài toán khuyến khích học sinh giỏi
VD: Tìm vị trí điểm M sao cho MH.MK lớn nhất.
Bài 4: Cho đờng tròn (O) và dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung lớn BC
sao cho AC > BC, AC > AB; Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các
tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau ở E. Gọi P,Q lần lợt là giao điểm của AB
với CD; AD với CE.
a) Chứng minh DE // BC.
b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp.
c) Tứ giác PBCQ là hình gì? tại sao?
d) Gọi R là giao điểm của AD và BC. Chứng minh
.
CR
1
CQ
1
CE
1
+=
H ớng dẫn :
a) Chứng minh
ED
CDC
B
=
ở vị trí so le trong.
b) Chứng minh
QA
CQA
P
=
cùng nhìn PQ .
Ngời thực hiện:
Nguyễn Đình Tiếp
10
sáng kiến kinh nghiệm môn toán thcs
c) Chứng minh
QP
CPC
B
=
ở vị trí so le trong.
d)
.
CR
1
CQ
1
CE
1
+=
CR
CE
CQ
CE
1
+=
CR
DE
CQ
CE
+
( vì CE = DE)
RQ
RD
CQ
CE
=
và
RQ
DQ
CR
DE
=
Bài 5: Cho đờng tròn (O) , vẽ dây AB. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau ở P.
a) Chứng minh tứ giác AOBP nội tiếp.
b) Kẻ hai dây AC // BD và nằm cùng phía đối với AB. Gọi Q là giao điểm của
AD và BC. Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp.
c) Chứng minh PQ // AC.
H ớng dẫn :
a) Sử dụng hai góc vuông.
b) Sử dụng tứ giác AOPB nội tiếp chứng minh
BO
ABQ
A
=
( chú ý hai dây song song chắn hai cung bằng nhau )
c) Chứng minh
BC
ABQ
P
=
ở vị trí đồng vị.
Bài 6: Cho hai đờng tròn (O,R) và (O,R) cắt nhau ( R > R ). Các tiếp tuyến chung
MN và PQ ( M, P nằm trên (O) )
a) Chứng minh ba đờng thẳng MN, PQ, OO đồng quy tại một điểm.
b) Chứng minh tứ giác MNQP nội tiếp.
c) Xác định vị trí của (O) và (O) sao cho đờng tròn đờng kính OO tiếp xúc
với MN và PQ.
d) MQ cắt (O) , (O) lần lợt tại S và T. Chứng minh MS = QT
H ớng dẫn:
a) Gọi I là giao điểm của MN và PQ
Chứng minh IO, IO là tia phân giác của góc MIP.
b) Chứng minh MNQP là hình thang cân.
c) Gọi O
1
là tâm đờng tròn đờng kính OO ,
O
1
H là khoảng cách từ O
1
đến PQ sử dụng đờng trung bình của hình thang chứng
minh OO = R + R suy ra (O) tiếp xúc ngoài với (O ).
d) Chứng minh MT.MQ = MN
2
và QS.MQ = PQ
2
suy ra MT.MQ = QS. MQ ( vì MN
= PQ) suy ra MT = QS suy ra MT + TS = QS + TS suy ra MS = QT.
Ngời thực hiện:
Nguyễn Đình Tiếp
11
sáng kiến kinh nghiệm môn toán thcs
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, một điểm M thay đổi trên cạnh AC. Đờng tròn
đờng kính MC cắt BM tại N và cắt NA tại P.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, N cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCP.
c) Gọi D, E là các điểm đối xứng với M qua BA và BC chứng minh tứ giác
BDCE nội tiếp.
d) Xác định vị trí của M để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE có đờng kính
nhỏ nhất.
H ớng dẫn
:
a) Chứng minh tứ giác có hai góc vuông.
b) Chứng minh
BC
APC
A
=
( cùng bằng
BN
A
).
c) Sử dụng tính chất đối xứng chứng minh
0
180CM
BDM
BCE
BMD
B
=+=+
( kề bù )
d) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE suy ra I
nằm trên trung trực của BC, gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ I xuống BC suy ra
H cố định do BC cố định. Lập luận (I) có đờng kính nhỏ nhất khi IB nhỏ nhất khi và
chỉ khi I
H suy ra M
A.
* Khi củng cố bài GV cần chú ý khai thác cho học sinh PP vận
dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh hai góc bằng nhau ( Khi chứng
minh
PC
ABN
A
=
).
Bài 8: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, các điểm C, D nằm trên đờng tròn sao cho C,
D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi M,
N lần lợt là các điểm chính giữa của các cung AC, AD. MN cắt AC, AD thứ tự
tại H, I; MD cắt CN tại K.
a) Chứng minh NKD, MAK cân.
b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp; suy ra KH // AD.
c) So sánh góc CAK và DAK.
H ớng dẫn :
a)Sử dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên trong đờng tròn
chứng minh
KD
NDK
N
=
;
Chứng minh MKC cân tại M suy ra MK = MC và MA = MC
b) Chứng minh
KC
HKH
M
=
cùng nhìn HK. chứng minh
AD
MHK
M
=
ở vị trí đồng vị.
c) chứng minh
)AK
H(KA
DKA
C
==
.
Ngời thực hiện:
Nguyễn Đình Tiếp
12
sáng kiến kinh nghiệm môn toán thcs
Bài 9: Từ một điểm A ở ngoài (O,R) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến AKD
với đờng tròn sao cho BD // AC. Nối BK cắt AC tại I.
a) Chứng minh IC
2
= IK.IB.
b) Chứng minh BAI~ AKI và tính AI nếu KI = 16 cm, BI = 49 cm.
c) Chứng minh AI = IC.
H ớng dẫn :
a) Chứng minh ICK ~IBC ( g.g)
b) Chứng minh
)AD
B(IA
KIB
A
==
và góc I chung.
c) Chứng minh IA
2
= IC
2
( = IK.IB).
* GV có thể khai thác thêm cho học sinh giải quyết theo
hớng phân tích ngợc
VD: Tìm điều kiện để CK
AB.
Bài 10: Cho ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính
BD cắt BC tại E. CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại F, G.
a) Chứng minh BE.BC = BD.BA.
b) Chứng minh
.FB
ADE
A
=
c) Chứng minh tứ giác AFGC là hình thang.
d) Chứng minh ba đờng thẳng AC, DE, BF đồng quy.
H ớng dẫn
:
a) Chứng minh BED ~BAC.
b) Chứng minh hai tứ giác ACBF và ACED nội tiếp
từ đó chứng minh
.FB
ADE
A
=
( cùng bằng góc ACD).
c) Chứng minh
)GE
D(FC
ADF
G
==
ở vị trí so le trong.
d) Sử dụng tính chất đờng cao của tam giác.
Một số bài tập không có h ớng dẫn :
Bài 11: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, một điểm M nằm trên cung AB, gọi H
là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tạ A ở
K. AH cắt BM tại S.
a) Tam giác Bá là tam giác gì? tại sao? Suy ra S nằm trên một đờng tròn
cốđịnh.
b) Xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng KS với (B, BA ).
c) Đờng tròn đi qua B, I, S cắt đờng tròn (B, BA ) tại N. Chứng minh đờng
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động.
d) Xác định vị trí của M sao cho
0
90AK
M
=
Ngời thực hiện:
Nguyễn Đình Tiếp
13
sáng kiến kinh nghiệm môn toán thcs
Bài 12: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB, một điểm M trên đờng tròn sao cho
MA > MB, Các tiếp tuyến của đờng tròn tại M và B cắt nhau ở P, các đờng
thẳng AB, MP cắt nhau tại Q; các đờng thẳng AM, OM cắt BP lần lợt tại R, S.
a) Chứng minh tứ giác AMPO là hình thang.
b) Chứng minh MB // SQ.
c) Gọi C là điểm đối xứng với M qua AB. Chứng minh tứ giác AQS C nội tiếp.
d) Gọi D là giao điểm của AM và SQ, cho biết OMDP là hình bình hành. Tính
OS theo R.
Bài 13: Cho đờng tròn (O) trên đó có cung cố định AB bằng 90
0
và một điểm C thay
đổi trên cung lớn AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. AH, BH cắt (O)
lần lợt tại M, N, AN cắt BM tại P.
a) Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
b) Tứ giác ACBP là hình gì? tại sao?
c) Chứng minh CO // PH.
d) Chứng minh
PH
CMO
A
không phụ thuộc vào vị trí điểm C .
Ngời thực hiện:
Nguyễn Đình Tiếp
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét