4
nh˜u
.
ng ne´t m´o
.
i cho luˆa
.
n v˘an cu
’
a ta´c gia
’
, vı` cuˆo
´
n sa´ch trˆen la` mˆo
.
t ta`i liˆe
.
urˆa
´
t quı´
gia´, trong khi d¯o´hˆa
`
unhu
.
chu
.
a co´ mˆo
.
t ta`i liˆe
.
u toa´n so
.
cˆa
´
p na`o d¯ˆe
`
cˆa
.
pd¯ˆe
´
nvˆa
´
nd¯ˆe
`
na`y mˆo
.
t ca´ch tro
.
nve
.
n. Do d¯o´, luˆa
.
n v˘an khˆong qua´ d¯ˆe
`
cˆa
.
psˆauvˆe
`
ly´ thuyˆe
´
t ma` cˆo
´
g˘a
´
ng tı`m kiˆe
´
mnh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
ano´va`o viˆe
.
c gia
’
iva` sa´ng ta´c ca´c ba`i tˆa
.
po
.
’
phˆo
’
thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
t la` nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng thu
.
`o
.
ng g˘a
.
pcu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va`
khai triˆe
’
n Taylor.
Luˆa
.
n v˘an da`y 56 trang, gˆo
`
m ca´c phˆa
`
nMu
.
clu
.
c, Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u, ba chu
.
o
.
ng nˆo
.
i dung,
kˆe
´
t luˆa
.
nva` ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o:
Chu
.
o
.
ng 1: Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
n.
Nˆo
.
i dung chu
.
o
.
ng na`y trı`nh ba`y mˆo
.
t ca´ch co
.
ba
’
n nhˆa
´
tvˆe
`
ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy
cˆo
’
d¯ i ˆe
’
n, d¯o´ la` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo
.
i suy
Newton va` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite.
Chu
.
o
.
ng 2: Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy.
D
-
ˆay la` mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng nˆo
.
i dung tro
.
ng tˆam cu
’
a luˆa
.
n v˘an. V´o
.
itˆa
`
m quan tro
.
ng
o
.
’
phˆo
’
thˆong, cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va`nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
a no´ d¯u
.
o
.
.
cd¯ˆe
`
cˆa
.
p
tha`nh mˆo
.
t phˆa
`
n riˆeng trong chu
.
o
.
ng na`y v´o
.
inh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng pha´p gia
’
i toa´n kha´ d¯a
da
.
ng va`mˆo
.
tsˆo
´
lu
.
o
.
.
ng ba`i tˆa
.
pd¯ˆe
`
xuˆa
´
t kha´ phong phu´. Nhiˆe
`
ud¯˘a
’
ng th´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng
phˆan th´u
.
c co´ nguˆo
`
ngˆo
´
ct`u
.
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c luˆa
.
n v˘an pha´t
hiˆe
.
n. Nhiˆe
`
u ba`i toa´n thi cho
.
nho
.
c sinh gio
’
i quˆo
´
cgiava` quˆo
´
ctˆe
´
d¯ a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c gia
’
ib˘a
`
ng
ca´ch a´p du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy na`y. Phˆa
`
n co`n la
.
icu
’
a chu
.
o
.
ng trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy co`n la
.
i. Mˆo
.
tsˆo
´
ba`i tˆa
.
p da`nh cho ba
.
nd¯o
.
ccu
˜
ng
d¯ u
.
o
.
.
c gi´o
.
i thiˆe
.
uo
.
’
phˆa
`
n cuˆo
´
i chu
.
o
.
ng.
Chu
.
o
.
ng 3:
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyd¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va` xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
.
Chu
.
o
.
ng na`y ta´ch riˆeng mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy d¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng
va`xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
.Mˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng toa´n kho´ o
.
’
phˆo
’
thˆong liˆen quan d¯ˆe
´
nvˆa
´
nd¯ˆe
`
na`y
d¯ a
˜
d¯ u
.
o
.
.
cd¯ˆe
`
cˆa
.
p, trong d¯o´ co´ nh˜u
.
ng ba`i trong ca´c d¯ˆe
`
thi cho
.
nho
.
c sinh gio
’
i quˆo
´
c
gia va` quˆo
´
ctˆe
´
.Mˆo
.
tsˆo
´
phˆa
`
ncu
’
a luˆa
.
n v˘an d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c d¯˘ang ta
’
i trong ca´c ky
’
yˆe
´
uhˆo
.
i
nghi
.
chuyˆen nga`nh, ch˘a
’
ng ha
.
n [1].
Luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n tha`nh nh`o
.
su
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
cva` nhiˆe
.
t tı`nh cu
’
aTiˆe
´
n
sy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n - Ngu
.
`o
.
i Thˆa
`
yrˆa
´
t nghiˆem kh˘a
´
cva`tˆa
.
n tˆam trong cˆong viˆe
.
c,
truyˆe
`
nd¯a
.
t nhiˆe
`
ukiˆe
´
nth´u
.
c quı´ ba´u cu
˜
ng nhu
.
kinh nghiˆe
.
m nghiˆen c´u
.
u khoa ho
.
c
trong suˆo
´
t th`o
.
i gian nghiˆen c´u
.
ud¯ˆe
`
ta`i. Chı´nh vı` vˆa
.
y ma` ta´c gia
’
luˆon to
’
lo`ng biˆe
´
t
o
.
n chˆan tha`nh va` sˆau s˘a
´
cd¯ˆo
´
iv´o
.
i Thˆa
`
y gia´o hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n-Tiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n.
5
Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia
’
xin d¯u
.
o
.
.
c ba`y to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh d¯ˆe
´
n: Ban Gia´m
Hiˆe
.
u, Pho`ng d¯a`o ta
.
oD
-
a
.
iho
.
cva` sau D
-
a
.
iho
.
c, Khoa toa´n cu
’
a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui
Nho
.
n, cu`ng quı´ thˆa
`
y cˆo gia´o d¯a
˜
tham gia gia
’
ng da
.
yva`hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
ccho
l´o
.
p cao ho
.
c toa´n kho´a 8. UBND tı
’
nh, So
.
’
gia´o du
.
cva` d¯a`o ta
.
otı
’
nh Gia Lai, Ban
Gia´m Hiˆe
.
u tru
.
`o
.
ng THPT Ia Grai d¯a
˜
cho ta´c gia
’
co
.
hˆo
.
iho
.
ctˆa
.
p, cu`ng v´o
.
i quı´ thˆa
`
y
cˆo gia´o cu
’
a nha` tru
.
`o
.
ng d¯a
˜
d¯ ˆo
.
ng viˆen, se
’
chia cˆong viˆe
.
cva`ta
.
omo
.
id¯iˆe
`
ukiˆe
.
n thuˆa
.
n
lo
.
.
id¯ˆe
’
ta´c gia
’
nghiˆen c´u
.
uva` hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an na`y.
Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an, ta´c gia
’
co`n nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
quan tˆam d¯ˆo
.
ng
viˆen cu
’
a ca´c ba
.
nd¯ˆo
`
ng nghiˆe
.
p, ca´c anh chi
.
em trong ca´c l´o
.
p cao ho
.
c kho´a VI I, VIII,
XIX cu
’
a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho
.
n. Ta´c gia
’
xin chˆan tha`nh ca
’
mo
.
ntˆa
´
tca
’
nh˜u
.
ng
su
.
.
quan tˆam d¯ˆo
.
ng viˆen d¯o´.
D
-
ˆe
’
hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an na`y, ta´c gia
’
d¯ a
˜
tˆa
.
p trung rˆa
´
t cao d¯ˆo
.
trong hoc tˆa
.
pva`
nghiˆen c´u
.
u khoa ho
.
c, cu
˜
ng nhu
.
rˆa
´
tcˆa
’
n thˆa
.
n trong nhˆan chˆe
´
ba
’
n. Trong d¯o´ ı´t nhiˆe
`
u
ha
.
nchˆe
´
vˆe
`
th`o
.
i gian cu
˜
ng nhu
.
trı`nh d¯ˆo
.
hiˆe
’
ubiˆe
´
tnˆen trong qua´ trı`nh thu
.
.
chiˆe
.
n
khˆong thˆe
’
tra´nh kho
’
inh˜u
.
ng thiˆe
´
u so´t, ta´c gia
’
rˆa
´
t mong nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
chı
’
ba
’
ocu
’
a
quı´ thˆa
`
ycˆova`nh˜u
.
ng go´p y´ cu
’
aba
.
nd¯o
.
cd¯ˆe
’
luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n thiˆe
.
nho
.
n.
Quy Nho
.
n, tha´ng n˘am 2008
Ta´c gia
’
6
Chu
.
o
.
ng 1
C´ac b`ai to´an nˆo
.
i suy cˆo
˙’
d¯ i ˆe
˙’
n
Trong chu
.
o
.
ng na`y, luˆa
.
nv˘and¯ˆe
`
cˆa
.
pmˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
nse
˜
su
.
’
du
.
ng
o
.
’
ca´c chu
.
o
.
ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, Bai toa´n nˆo
.
i suy Taylor, Ba`i
toa´n nˆo
.
i suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite. L`o
.
i gia
’
i cho ca´c ba`i toa´n na`y la`
ca´c d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy tu
.
o
.
ng ´u
.
ng ma` ch´u
.
ng minh chi tiˆe
´
td¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c trı`nh ba`y trong [2]
1.1 B`ai to´an nˆo
.
i suy Lagrange
1.1.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
i
,v´o
.
i x
i
= x
j
,v´o
.
imo
.
i i = j, i, j =1, 2, ···,N.Ha
˜
yxa´c
d¯ i
.
nh d¯a th´u
.
c L(x) co´bˆa
.
c degL(x) ≤ N −1 va` tho
’
aca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
L(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ···,N
.
1.1.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange
Ky´ hiˆe
.
u
L
i
(x)=
N
j=1,j=i
x − x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ··· ,N.
Khi d¯o´, d¯a th´u
.
c
L(x)=
N
i=1
a
i
L
i
(x)
la` d¯a th ´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange va` ta go
.
i
d¯a th´u
.
c na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
7
1.2 B`ai to´an nˆo
.
i suy Taylor
1.2.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
0
,a
i
, v´o
.
i i =0, 1, ···,N − 1.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c T (x) co´
bˆa
.
c degT (x) ≤ N − 1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
T
i
(x
0
)=a
i
, ∀i =0, 1, ··· ,N − 1.
1.2.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor
D
-
ath´u
.
c
T (x)=
N −1
i=0
a
i
i!
(x − x
0
)
i
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor va`go
.
i d¯a th ´u
.
c
na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
1.3 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton
1.3.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
i
, v´o
.
i i =1, 2, ··· ,N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c N(x) co´bˆa
.
c
degN(x) ≤ N −1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
N
i−1
(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ··· ,N.
1.3.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
Ky´ hiˆe
.
u
R
i
(x
1
,x
2
, ··· ,x
i
,x)=
x
x
1
t
x
2
t
1
x
3
···
t
i−2
x
i
dt
i−1
dt
2
.dt
1
.dt; i =1, 2, ··· ,N.
khi d¯o´, d¯a th´u
.
c
N(x)=
N
i=1
a
i
R
i−1
(x
1
,x
2
, , x
i−1
,x)
= a
1
+ a
2
R(x
1
,x)+a
3
R
2
(x
1
,x
2
,x)+···+ a
N
R
N −1
(x
1
, ···,x
N −1
,x)
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton va` ta go
.
id¯a
th ´u
.
c na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
8
Nhˆa
.
n xe´t 1.1. V´o
.
i x
i
= x
0
, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ··· ,N, thı`
R
i
(x
0
,x
1
, ···,x
i−1
,x)=R
i
x
0
, ···,x
0
i lˆa
`
n
,x
=
x
x
0
t
x
0
t
1
x
0
···
t
i−2
x
0
dt
i−1
dt
2
.dt
1
.dt
=
(x − x
0
)
i
i!
; v´o
.
i i =1, 2, ···,N
Khi d¯o´
N(x)=
N
i=1
a
i
R
i
x
0
, ···,x
0
i lˆa
`
n
,x
=
= a
0
+ a
1
R(x
0
,x)+a
2
R
2
(x
0
,x
0
,x)+···+ a
N −1
R
N −1
x
0
, ···,x
0
N −1 lˆa
`
n
,x
= a
0
+ a
1
(x −x
0
)+a
2
(x − x
0
)
2
2
+ ···+ a
N −1
(x − x
0
)
N −1
(N − 1)!
=
N −1
i=0
a
i
(x − x
0
)
i
i!
≡ T(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i x
i
= x
0
, ; ∀i =1, 2, ···,N, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Newton chı´nh la` d¯a th´u
.
c
nˆo
.
i suy Taylor.
1.4 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite
1.4.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
ki
,i=1, 2, ···,n; k =0, 1, ··· ,p
i
− 1 va` x
i
= x
j
,v´o
.
i
mo
.
i i = j, trong d¯o´ p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c H(x) co´bˆa
.
c
degH(x) ≤ N − 1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
H
(k)
(x
i
)=a
ki
, ∀i =1, 2, ···,n; ∀k =0, 1, ···,p
i
− 1
1.4.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite
Ky´ hiˆe
.
u
W (x)=
n
j=1
(x −x
j
)
p
j
;
9
W
i
(x)=
W (x)
(x − x
i
)
p
i
=
n
j=1,j=i
(x − x
j
)
p
j
; i =1, 2, ··· ,n
Go
.
i d¯oa
.
n khai triˆe
’
n Taylor d¯ˆe
´
ncˆa
´
pth´u
.
p
i
− 1 − k,v´o
.
i k =0, 1, ··· ,l; l =
0, 1, ···,p
i
− 1, ta
.
i x = x
i
cu
’
a ha`m sˆo
´
1
W
i
(x)
(i =1, 2, ··· ,n)la`
T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
p
i
−1−k
l=0
1
W
i
(x)
(l)
(x=x
i
)
(x − x
i
)
l
l!
.
khi d¯o´, d¯a th´u
.
c
H(x)=
n
i=1
p
i
−1
k=0
a
ki
(x − x
i
)
k
k!
W
i
(x)T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
.
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite va`tago
.
id¯a
th ´u
.
c na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite.
Nhˆa
.
n xe´t 1.2.
V´o
.
i n = 1, thı` i =1va` p
1
= N. Khi d¯o´, ta co´
W (x)=(x − x
1
)
N
;
W
1
(x)=
W (x)
(x − x
1
)
N
=1.
Do d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe
’
n
T
1
W
1
(x)
(N −1−k)
(x=x
1
)
= T
1
(N −1−k)
(x=x
1
)
=1.
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
N −1
k=0
a
k1
(x − x
1
)
k
k!
≡ T (x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i n = 1, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
Nhˆa
.
n xe´t 1.3.
V´o
.
i k = 0, thı` p
i
= 1, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,n. Khi d¯o´
p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N,
10
hay n = N. Do d¯o´, ta co´
W (x)=
N
j=1
(x − x
j
);
W
i
(x)=
N
j=1,j=i
(x −x
j
),i=1, 2, ··· ,N.
khi d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe
’
n Taylor
T
1
W
i
(x)
0
(x=x
i
)
=
1
W
i
(x
i
)
=
1
N
j=1,j=i
(x
i
− x
j
)
,i=1, 2, ··· ,N.
Vˆa
.
y, ta co´
H(x)=
N
i=1
a
0i
N
j=1,j=i
x − x
j
x
i
− x
j
≡ L(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i k = 0, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
ptˆo
’
ng qua´t, viˆe
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
nd¯ath´u
.
c Hermite kha´ ph´u
.
cta
.
p. Du
.
´o
.
i
d¯ˆay la` mˆo
.
tva`i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p riˆeng d¯o
.
n gia
’
n kha´c cu
’
a d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite, khi
hˆe
.
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
nchı
’
ch´u
.
ad¯a
.
o ha`m bˆa
.
c nhˆa
´
t.
Nhˆa
.
n xe´t 1.4.
Nˆe
´
u p
i
= 2, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,n, thı` khi d¯o´ k = 0 ho˘a
.
c k =1.
+V´o
.
i k = 0, ta co´
T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
= T
1
W
i
(x)
(1)
(x=x
i
)
=
1
l=0
1
W
i
(x)
(l)
(x=x
i
)
(x − x
i
)
l
l!
=
1
W
i
(x
i
)
−
W
i
(x
i
)
W
2
i
(x
i
)
(x −x
i
)
=
1
W
i
(x
i
)
1 −
W
i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)
, v´o
.
i i =1, 2, ··· ,n.
+V´o
.
i k = 1, ta co´
T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
= T
1
W
i
(x)
(0)
(x=x
i
)
=
0
l=0
1
W
i
(x)
(l)
(x=x
i
)
(x −x
i
)
l
l!
=
1
W
i
(x
i
)
−
W
i
(x
i
)
W
2
i
(x
i
)
(x − x
i
)=
1
W
i
(x
i
)
.
11
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
n
i=1
1
k=0
a
ki
(x − x
i
)
k
k!
W
i
(x)T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
n
i=1
a
0i
W
i
(x)T
1
W
i
(x)
(1)
(x=x
i
)
+a
1i
(x − x
i
)W
i
(x)T
1
W
i
(x)
(0)
(x=x
i
)
=
n
i=1
W
i
(x)
a
0i
1
W
i
(x
i
)
1 −
W
i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x −x
i
)
+a
1i
(x − x
i
)
1
W
i
(x
i
)
=
n
i=1
W
i
(x)
W
i
(x
i
)
a
0i
1 −
W
i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)
+a
1i
(x − x
i
)
=
n
i=1
W
i
(x)
W
i
(x
i
)
a
0i
−
a
0i
W
i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
− a
1i
(x −x
i
)
.
Ngoa`i ra, trong phˆa
`
n ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, ta d¯a
˜
biˆe
´
tr˘a
`
ng
L
i
(x)=
n
j=1,j=i
x − x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ··· ,n
va`
L
i
(x
j
)=
1, khi i = j
0, khi i = j.
Do d¯o´
L
i
(x
i
) ≡ 1, ∀i = 1,n.
Vˆa
.
y
W
i
(x)
W
i
(x
i
)
=
n
j=1,j=i
(x − x
j
)
2
(x
i
− x
j
)
2
= L
2
i
(x); i = 1,n.
D
-
a
.
o ha`m theo x hai vˆe
´
cu
’
ad¯˘a
’
ng th ´u
.
c trˆen, ta d¯u
.
o
.
.
c
W
i
(x)
W
i
(x
i
)
=2L
i
(x)L
i
(x)=2L
i
(x
i
).
Do d¯o´, d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p na`y co´ da
.
ng
H(x)=
n
i=1
L
2
i
(x)
a
0i
−
2a
0i
L
i
(x
i
) −a
1i
(x − x
i
)
.
Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
tva`i minh ho
.
a cho viˆe
.
cvˆa
.
ndu
.
ng ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy (do ta´c
gia
’
sa´ng ta´c)
12
Ba`i toa´n 1.1. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c 4, tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n sau:
P (−1)=3a +1(a>0) ; P
(0) = 0;
P
(1) = 4(3 + a); P
(3)
(−2) = −48;
P
(4)
(2008) = 24.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
Q(x)=P ( x)+P
(x)+P
(x)+P
(3)
(x)+P
(4)
(x) > 0. ∀x ∈ R.
Gia
’
i.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor (v´o
.
i N = 3), ta tı`m d¯u
.
o
.
.
c
P (x)=x
4
+2ax
2
+ a (a>0)
Suy ra:
P
(x)=4x
3
+4ax ;
P
(x)=12x
2
+4a ;
P
(3)
(x)=24x ;
P
(4)
(x)=24 .
Do d¯o´:
Q(x)=(x
2
+2x)
2
+2a(x +1)
2
+3a +8(x
2
+3x +3)> 0, ∀x ∈ R
Ba`i toa´n 1.2. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c n, tho
’
ama
˜
n:
P (2007) < 0; −P
(2007) ≤ 0,P
(2007) ≤ 0, ···, (−1)
n
P
(n)
≤ 0;
P (2008) > 0,P
(2008) ≥ 0,P
(2008) ≥ 0, ···,P
(n)
(2008) ≥ 0.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ca´c nghiˆe
.
m thu
.
.
ccu
’
a P (x) thuˆo
.
c (2007; 2008).
Gia
’
i.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor, ta co´:
P (x)=P ( b)+
P
(b)
1!
(x − b)+
P
(b)
2!
(x − b)
2
+ ···+
P
(n)
(b)
n!
(x − b)
n
, v´o
.
i b = 2008.
Do d¯o´, Nˆe
´
u x ≥ b thı` P(x) khˆong co´ nghiˆe
.
m x ≥ b.
V´o
.
i a = 2007, a´p du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor, ta co´
P (x)=P (a)+
−P
(a)
1!
(a −x)+
P
(a)
2!
(a −x)
2
+ ···+
(−1)
n
P
(n)
(a)
n!
(a − x)
n
.
Do d¯o´, nˆe
´
u x<athı` P(x) khˆong co´ nghiˆe
.
m x ≤ a.
Vˆa
.
y ca´c nghiˆe
.
m pha
’
i thuˆo
.
c (2007; 2008).
13
Chu
.
o
.
ng 2
Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th´u
.
c
nˆo
.
i suy
Chu
.
o
.
ng na`y trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy, trong d¯o´d¯ˆe
`
cˆa
.
p sˆau ho
.
nd¯ˆo
´
iv´o
.
i cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, cˆong th´u
.
c co´ nhiˆe
`
u´u
.
ng du
.
ng d¯ˆe
’
gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n kho´ o
.
’
hˆe
.
phˆo
’
thˆong chuyˆen toa´n.
Vˆa
´
nd¯ˆe
`
´u
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy trong u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va`xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
la` hai
nˆo
.
i dung quan tro
.
ng va`tu
.
o
.
ng d¯ˆo
´
i kho´, v´o
.
inh˜u
.
ng ky
˜
thuˆa
.
tch´u
.
ng minh kha´ ph´u
.
c
ta
.
p, d¯u
.
o
.
.
c trı`nh ba`y o
.
’
chu
.
o
.
ng sau.
2.1 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th ´u
.
cnˆo
.
i suy La-
grange
2.1.1 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 2.1. Cho n sˆo
´
x
1
,x
2
, ··· ,x
n
phˆan biˆe
.
tva`n sˆo
´
a
1
,a
2
, ···,a
n
tu`y y´.
Thˆe
´
thı` tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tmˆo
.
td¯ath´u
.
c P (x) v´o
.
ibˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t qua´ n−1, tho
’
ama
˜
n
P (x
j
)=a
j
; ∀j =1, 2, ···,n. (2.1)
D
-
ath´u
.
cco´da
.
ng
n
j=1
a
j
n
i=1,ı=j
x − x
i
x
j
− x
i
(2.2)
D
-
ath´u
.
c (2.2) d¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange ho˘a
.
c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy
Lagrange. Ca´c sˆo
´
x
1
,x
2
, ···,x
n
d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
ila`ca´c nu´t nˆo
.
i suy.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét