_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace -
5
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
22
tjtj
s
]
js
1
js
1
[
2j
1
]
2j
ee
[t][sin
ω+
ω
=
ω+
−
ω−
=
−
=ω
ω−ω
LL
22
s
t][sin
ω+
ω
=ω
L
10.3.2 Biến đổi của e
-at
f(t)
a)F(sdtf(t)edtf(t)eef(t)][e
0
s)t
0
statat-
+===
∫∫
∞
+−
∞
−−
a(
L
a)F(sf(t)][e
-at
+=
L
(10.5)
Khi hàm f(t) nhân với e
-at
, biến đổi Laplace tương ứng e
-at
f(t) có được bằng cách thay
F(s) bởi F(s+a)
Thí dụ 10.4
Tìm biến đổi Laplace của e
-at
cosωt và e
-at
sinωt
Chỉ cần thay s bởi s+a trong các các kết quả biến đổi của hàm sinωt và cosωt ở trên.
22
at-
a)(s
as
t]cos[e
ω++
+
=ωL
22
at-
a)(s
t]sin[e
ω++
ω
=ωL
Thí dụ 10.5
Tìm f(t) ứng với
52ss
6s
F(s)
2
+
+
=
Viết lại F(s) , sao cho xuất hiện dạng F(s+a)
2222
21)(s
6-1)6(s
21)(s
6s
F(s)
++
+
=
++
=
Dùng kết quả của thí dụ 10.4 với a = 1 và ω = 2
F(s)
2222
21)(s
2
3-
21)(s
1)(s
6
++++
+
=
⇒ f(t) =
L
-1
[F(s)]=6e
-t
cos2t - 3e
-t
sin2t
10.3.3 Biến đổi của f(t-τ)u(t-τ)
f(t-τ) là hàm f(t) trễ τ đơn vị thời gian. (Lưu ý là f(t)=0 khi t<0 nên f(t-τ)=0 khi t<τ)
∫∫
∞
τ
∞
τ−=τ−τ−=τ−τ− dt).ef(tdt)e).u(tf(t)]).u(t[f(t
st-st-
0
L
Đổi biến số: x= t-τ
∫∫
∞
τ
τ
∞
+τ
==τ−τ− dxf(x)eedxf(x).e)]).u(t[f(t
sx-s-
s(-
0
)x
L
F(s)e)]).u(t[f(t
-sτ
=τ−τ−
L
(10.6)
Hãy so sánh (10.5) và (10.6)
MẠCH
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace -
6
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
* Ở (10.5), F(s+a) biểu thị sự chuyển dịch của F(s) từ s đến s+a trong lãnh vực tần số tương
ứng với nhân hàm f(t) với e
-at
trong lãnh vực thời gian.
* Ở (10.6), f(t-τ) biểu thị sự chuyển dịch của hàm f(t) từ t đến t-τ trong lãnh vực thời gian
tương ứng với nhân F(s) với e
-sτ
trong lãnh vực tần số.
Thí dụ 10.6
Tìm biến đổi của f(t)=e
-3t
u(t-2)
Viết lại f(t):
f(t)= e
-3(t-2)-6
u(t-2) = e
-6
e
-3(t-2)
u(t-2)
Vì L [e
-3t
u(t)]=
3s
1
+
Nên
L [e
-3(t-2)
u(t-2)]=
3s
e
-2s
+
L [e
-3t
u(t-2)]= e
-6
(
3s
e
-2s
+
)
10.3.4 Định lý kết hợp (Convolution theorem)
Đây là định lý dùng để tìm biến đổi ngược y(t) của tích 2 hàm F(s)và G(s)
y(t)=
L
-1
[G(s).F(s)]= (10.7)
ττ−τ
∫
t
0
)d)f(tg(
Tích phân trong biểu thức được gọi là kết hợp hai hàm g(t) và f(t), ký hiệu:
g(t)*f(t) =
(10.8)
ττ−τ
∫
t
0
)d)f(tg(
Thí dụ 10.7
Tìm kết hợp 2 hàm e
-t
và e
-2t
Dùng (10.8)
e
-t
* e
-2t
=
τ
∫
τ−−
τ
t
0
)2(t
-
dee .
=
τ
∫
τ−
t
0
2t
dee
e
-t
* e
-2t
= e
-t
- e
-2t
Thí dụ 10.8
Xác định
L
-1
[
22
1)(s
1
+
]
Dùng định lý kết hợp với F(s)=G(s)=
1s
1
2
+
Ta được f(t)=g(t)=sint
L
-1
[
22
1)(s
1
+
]=L
-1
[F(s).G(s)]
= g(t)*f(t) =sint*sint
=
ττ−τ
∫
t
0
)dsin(tsin .
Ap dụng công thức biến đổi lượng giác rồi lấy tích phân, ta được
MẠCH
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace -
7
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
L
-1
[
22
1)(s
1
+
]=
2
1
[sint-tcost]
10.3.5 Biến đổi của đạo hàm
Ò Đạo hàm bậc 1
L
dt
df(t)
=
dtf(t)e
dt
d
st
0
−
∞
∫
Lấy tích phân từng phần
Đặt u = e
-st
⇒ du = -s e
-st
dv=df(t) ⇒ v = f(t)
L
dt
df(t)
=
∫
∞
−−
+
∞
0
stst
dtf(t)esf(t)e
0
Vì
=0, số hạng thứ nhất ở vế phải = - f(0
f(t)e
lim
st
t
−
∞→
+
)
L
dt
df(t)
= sF(s) - f(0
+
) (10.9)
f(0
+
) là giá trị của f(t) khi t → 0
+
Ò Đạo hàm bậc 2
L
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
dt
df(t)
dt
d
dt
(t)df
2
2
L
=
dt
)df(0
dt
df(t)
s
+
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
L
L
dt
)df(0
-)sf(0-F(s)s
dt
(t)df
2
2
2
+
+
= (10.10)
Trong đó
dt
)df(0
+
là giá trị của
dt
df(t)
khi t → 0
+
Ò Đạo hàm bậc n
Từ kết quả trên, ta suy ra trường hợp đạo hàm bậc n
L
n
n
dt
f(t)d
= s
n
F(s) - s
n-1
f(0
+
) - s
n-2
dt
)df(0
+
1-n
1-n
dt
)(0df
+
(10.11)
10.3.6 Biến đổi của tích phân
L dt]ef(t)dt[f(t)dt
0
st
t
0
t
0
∫∫∫
∞
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Đặt u=
f(t)duf(t)dt
t
0
=⇒
∫
dv=e
-st
dt ⇒ v=
st
e
s
1
−
−
MẠCH
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace -
8
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
L
dtf(t)e
s
1
f(t)dt
s
e
f(t)dt
0
st
t
0
st
t
0
∫∫∫
∞
−
−
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
0
Khi t → ∞ e
-st
→ 0
và
0f(t)dt
0t
t
0
=
=
∫
nên số hạng thứ nhất của vế phải triệt tiêu
L
F(s)
s
1
f(t)dt
t
0
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∫
(10.12)
Khi áp dụng vào mạch điện, thời gian thường xác định từ - ∞ đến t, như vậy có thể
chia làm 2 phần
∫
∞
t
-
f(t)dt
∫∫∫
+=
∞∞
t
0
0
-
t
-
f(t)dtf(t)dtf(t)dt
Số hạng thứ nhất của vế phải là hằng số và ta đặt f
-1
(0
+
)=
∫
∞
0
-
f(t)dt
Hệ thức (10.12) có thể viết lại cho trường hợp tổng quát nhất:
L
s
)(0f
s
F(s)
f(t)dt
1
t
-
+
−
∞
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∫
(10.13)
10.3.7 Biến đổi của tf(t)
Lấy đạo hàm hệ thức (10.1), đồng thời hoán chuyển các toán tử lấy đạo hàm và tích
phân, ta được:
[]
[
]
dttf(t)e-dtf(t)e
ds
d
ds
dF(s)
0
st
0
st
∫∫
∞
−
∞
−
==
Vế phải của hệ thức chính là
L [-tf(t)]
Vậy
L [tf(t)]=
ds
dF(s)
−
(10.14)
Thí dụ 10.9
Tìm biến đổi của hàm tu(t) và tcosωt
f(t)=u(t) ⇒ F(s)=
s
1
L [tu(t)=] =
2
s
1
)(
ds
d
=−
s
1
f(t) = cosωt ⇒ F(s)=
22
s
s
ω
+
L [tcosωt] =
222
22
22
)(s
s
s
s
ds
d
ω+
ω−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ω+
−
Dựa vào các định lý cơ bản ta có được một số cặp biến đổi. Kết hợp các định lý này
với định nghĩa của phép biến đổi ta có thêm một số cặp biến đổi thông dụng.
Bảng 1 dưới đây cho biến đổi của một số hàm
MẠCH
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace -
9
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
10.4 ÁP DỤNG VÀO GIẢI MẠCH
Để áp dụng biến đổi Laplace vào bài toán giải mạch, ta có thể thực hiện theo một
trong hai cách:
- Viết phương trình vi tích phân của mạch điện, dùng biến đổi Laplace ta được các
phương trình đại số.
- Biến đổi mạch sang lãnh vực tần số nhờ biến đổi Laplace, viết các phương trình đại
số cho mạch.
10.4.1 Giải phương trình vi tích phân
Dưới đây là một số thí dụ cho thấy cách áp dụng biến đổi Laplace vào giải mạch.
Thí dụ 10.10
Mạch RC nối tiếp (H 10.3), khóa K đóng ở t=0. Xác định i(t), cho tụ tích điện ban đầu
với điện tích q
0
Bảng 1
STT
f(t) F(s)
1
δ(t)
1
2 u(t)
s
1
3 t
2
s
1
4
nguyãnn,
1)!(n
t
1n
−
−
n
s
1
5 e
at
a-s
1
6 te
at
2
a)-(s
1
7
nguyãnn,e
1)!(n
t
at
1n
−
−
n
a)-(s
1
8 1- e
at
a)-s(s
a-
9
)e(e
ba
1
btat
−
−
b)a)(s(s
1
−−
10
Sinωt
22
s
ω
+
ω
11
Cosωt
22
s
s
ω
+
12
Sin(ωt+θ)
22
s
cosssin
ω
ω
+
θ
+
θ
13
Cos(ωt+θ)
22
s
sinscos
ω
ω
+
θ
−
θ
14
e
-at
Sinωt
22
a)(s ω++
ω
15
e
-at
Cosωt
22
a)(s
as
ω++
+
MẠCH
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace -
10
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
16
Sinh
ωt
22
s
ω
−
ω
17
Cosh
ωt
22
s
s
ω
−
18
dt
df(t)
sF(s)-f(0
+
)
19
2
2
dt
f(t)d
s
2
F(s) - sf(0+) -
dt
)df(0
+
20
n
n
dt
f(t)d
s
n
F(s) - s
n-1
f(0+) - s
n-2
dt
)df(0
+
1-n
1-n
dt
)(0df
+
21
∫
∞−
t
f(t)dt
s
)(0f
s
F(s)
1
+
−
+
22
)).u(tf(t
τ
−
τ−
F(s)e
-sτ
23 af
1
(t) + bf
2
(t) a F
1
(s) + b F
2
(s)
24
f(t)e
-at
a)F(s
+
25 tf(t)
ds
dF(s)
−
* Khi sử dụng bảng 1, phải nhân f(t) với u(t), nói cách khác, f(t) thỏa điều kiện là f(t)=0 khi t<0
Phương trình mạch điện
Vu(t)Riidt
C
1
t
=+
∫
∞−
(1)
(H 10.3)
Lấy biến đổi Laplace các số hạng pt (1)
[Vu(t)][Ri]]idt
C
1
[
t
LLL =+
∫
∞−
(2)
s
V
RI(s)]
s
)(0f
s
I(s)
[
C
1
1
=++
+
−
(3)
Với f
-1
(0
+
)=
0
0
qidt =
∫
∞−
q
0
có dấu (+) ở bản trên của tụ, cùng dấu với điện tích tích bởi nguồn V nên có trị
dương
Pt (3) được viết lại
s
V
RI(s)
Cs
q
Cs
I(s)
0
=++
(4)
⇒ I(s)=
1/RCs
1
R
/CqV
0
+
−
(5)
Dùng bảng 1 lấy biến đổi Laplace ngược để được i(t)
⇒ i(t)=
RC
t
0
e
R
/CqV
−
−
Dạng sóng của i(t)
(H 10.4)
MẠCH
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace -
11
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
Thí dụ 10.11
Mạch RL nối tiếp (H 10.5), khóa K đóng ở t=0. Xác định i(t), cho mạch không tích trữ năng
lượng ban đầu
Phương trình mạch điện
Vu(t)
dt
d
LR =+
i
i
(1)
Lấy biến đổi Laplace các số hạng pt (1)
s
V
)]i(0-L[sI(s)RI(s) =+
+
(2)
Mạch không tích trữ năng lượng ban đầu nên i(0
+
)=0
⇒ I(s)=
)
L
R
s(s
1
L
V
+
=
)R(sL
1
s
V
+
(3)
(H 10.5)
Dạng của I(s) không có trong bảng 1.
Viết lại I(s) sao cho gồm tổng của các hàm đơn giản
I(s)=
)
L
R
s(s
1
L
V
+
=
L
R
s
B
s
A
+
+
(4)
A, B là 2 hằng số cần xác định
Qui đồng mẫu số vế 2, cân bằng 2 vế, ta được:
))
L
R
s(s
B)s(A
L
R
A
L
R
s(s
Bs)
L
R
A(s
+
++
=
+
++
L
V
L
R
A =
⇒ A=
R
V
A+B=0 ⇒ B = - A=
R
V
−
Thay A và B vào (4)
I(s)=
)(
L
R
s
1
s
1
R
V
+
−
⇒ i(t) =
)(
t
L
R
e1
R
V
−
−
, t ≥ 0
10.4.2 Mạch điện biến đổi
Trong chương 6, với khái niệm vectơ pha, ta đã biến đổi mạch điện từ lãnh vực thời
gian sang lãnh vực tần số và viết các phương trình đại số cho mạch.
Tương tự , với phép biến đổi Laplace, ta cũng biến đổi mạch điện từ lãnh vực thời
gian sang lãnh vực tần số phức (s), kể cả các loại nguồn kích thích khác nhau và ta có lời giải
đầy đủ thỏa các đ
iều kiện đầu.
Ò Điện trở
V
R
=Ri(t) ⇒ V
R
(s)=RI(s) ⇒ Z
R
(s)=R và Y
R
(s)=1/R (10.15)
MẠCH
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace -
12
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
(H 10.6)
Ò Cuộn dây
v
L
(t)=L
dt
(t)di
L
Hay i
L
(t) =
∫
∞−
t
L
(t)dt
L
1
v
Biến đổi Laplace tương ứng
V
L
(s)=L[sI
L
(s)-i
L
(0
+
)]
⇒ I
L
(s) =
sL
)(0Li
sL
(s)V
LL
+
+
(10.16a)
hay sLI
L
(s) = V
L
(s)+L i
L
(0+) (10.16b)
Biểu thức (10.16a) cho mạch biến đổi (H 10.7b)
Biểu thức (10.16b) cho mạch biến đổi (H 10.7c)
(a) (b) (c)
(H 10.7)
Ò Tụ điện
i
C
(t)=C
dt
(t)d
C
v
hay v
C
(t)=
∫
∞−
t
C
(t)dt
C
1
i
Biến đổi của v
C
(t)
V
C
(s)=
]
s
)q(0
s
(s)I
[
C
1
c
+
+
Với
C
)q(0
)(0
C
+
=+
v
là điện thế do tụ tích điện ban đầu
V
C
(s)=
s
)(0
(s)I
sC
1
C
c
+
+
v
(10.17a)
Hay (10.17b) )(0C-(s)sCV(s)I
CCc
+= v
Đặt
s
)(0
)(V(s)V
C
C1
+
−=
v
s
Biến đổi tổng trở của tụ là: Z
C
(s)=
(s)I
(s)V
C
1
=
sC
1
Biểu thức (10.17a) cho mạch biến đổi của tụ (H 10.8b)
Biểu thức (10.17b) cho mạch biến đổi của tụ (H 10.8c)
MẠCH
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace -
13
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
(a) (b) (c)
(H 10.8)
Thí dụ 10.12
Xác định i(t) khi t>0 của mạch (H 10.9a). Cho i(0)=4A và v(0)=8V
(a) (H 10.9) (b)
Mạch biến đổi cho bởi (H 10.11b)
I(s)=
2/ss3
8/s43)(2/s
++
−++
=
3)2)(s3s(s
3)-8)(s-(4s2s
2
+++
+
=
3)2)(s1)(s(s
24-6s4s
2
+++
+
Triển khai I(s)
I(s)=
3s
3
2s
20
1s
13
+
−
+
+
+
−
Suy ra, khi t>0
i(t)=-13e
-t
+20e
-2t
- 3e
-3t
A
Thí dụ 10.13
Xác định v(t) của mạch (H 10.10a). Cho i(0)=1A và v(0)=4V
(a) (b)
(H 10.10)
Viết phương trình nút cho mạch biến đổi (H 10.10b)
0
24
4
24
sV
s
1
3s
V
4
V
=−+++
MẠCH
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace -
14
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
⇒ V(s)=
4s
20
2s
16
4)2)(s(s
244s
+
+
+
−=
++
−
và v(t)=-16e
-2t
+20e
-4t
V
10.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI HÀM P(s)/Q(s)
Trong phân giải mạch điện bằng phép biến đổi Laplace, kết quả đạt được là một hàm
theo s có dạng P(s)/Q(s) , trong đó P(s) và Q(s) là các đa thức.
Nếu P(s)/Q(s) có dạng trong bảng 1 thì ta có ngay kết quả biến đổi Laplace ngược.
Trong nhiều trường hợp ta phải triển khai P(s)/Q(s) thành tổng các hàm đơn giản hơn và có
trong bảng.
Gọi m và n là bậc của P(s) và Q(s)
Có 2 trường hợp
* m≤n, có thể triển khai ngay P(s)/Q(s)
* m>n, ta phải thực hiện phép chia để được
(s)Q
(s)P
sA sAA
Q(s)
P(s)
1
1
nm
nm10
++++=
−
−
(10.18)
P
1
(s) và Q
1
(s) có bậc bằng nhau và ta có thể triển khai P
1
(s)/Q
1
(s)
10.5.1. Triển khai từng phần
Ò Trường hợp 1
Q(s)=0 có nghiệm thực phân biệt s
1
, s
2
, . . . s
n
.
n
n
2
2
1
1
s-s
K
s-s
K
s-s
K
Q(s)
P(s)
+++=
(10.19)
K
i
(i= 1, 2,. . . ., n) là các hằng số xác định bởi:
i
ss
Q(s)
P(s)
)s(sK
ii
=
−=
(10.20)
Thí dụ 10.14
Triển khai hàm I(s)=
23ss
1s
2
++
−
, xác định i(t)=L
-1
[I(s)]
Phương trình s
2
+3s+2=0 có 2 nghiệm s
1
=-2 và s
2
=-1
I(s)=
23ss
1s
2
++
−
=
1s
K
2s
K
21
+
+
+
3
Q(s)
P(s)
2)(sK
-s
1
=+=
= 2
-2
Q(s)
P(s)
1)(sK
-s
2
=+=
= 1
I(s)=
1s
2
2s
3
+
−
+
MẠCH
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét